Question

已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱上CC′上任意一點(diǎn)，AB=BC=2，CC′=1．
（1）求證：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，求三棱錐P-BDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得BD⊥CC′，由此能證明平面BDE⊥平面ACC′A′．
（Ⅱ）由V_P-BDE=V_B-PDE，利用等積法能求出三棱錐P-BDE的體積．

解答： （1）證明：∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵CC′⊥平面ABCD，∴BD⊥CC′，（3分）
又CC′∩AC=C，∴BD⊥平面ACC′A′，
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC′A′．（6分）
（2）解：∵V_P-BDE=V_B-PDE，
由ABCD-A′B′C′D′是長方體，∴BC⊥平面CC′D′D，
即三棱錐B-PDE的高BC=2，
底面三角形△PBE面積
S_△PBE=SCC′D′D-S△DCE-S△EC′P-S△PD′D
=1×2-

1

2

×1×1-

1

2

×2×

1

2

-

1

2

×1×

1

2

=

3

4

，
∴V_P-BDE=V_B-PDE=

1

3

×2×

3

4

=

1

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐P-BDE的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．