Question

21、已知數(shù)列{a_n}：a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2（n是正整數(shù)），與數(shù)列{b_n}：b₁=1，b₂=0，b₃=-1，b₄=0，b_n+4=b_n（n是正整數(shù)）．
記T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=64，求r的值；
（2）求證：當(dāng)n是正整數(shù)時，T_12n=-4n；

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數(shù)列求和及數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）由已知中a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2，我們易給出a₁+a₂+a₃+…+a₁₂的表達(dá)式（含參數(shù)r），構(gòu)造方程后，解方程即可進(jìn)行求解．（2）要證明當(dāng)n是正整數(shù)時，T_12n=-4n，我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法，對其進(jìn)行論證．

解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+…+a₁₂
=1+2+r+3+4+（r+2）+5+6+（r+4）+7+8+（r+6）
=48+4r．
∵48+4r=64，
∴r=4．
證明：（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n∈Z⁺時，T_12n=-4n．
①當(dāng)n=1時，T₁₂=a₁-a₃+a₅-a₇+a₉-a₁₁=-4，
等式成立
②假設(shè)n=k時等式成立，即T_12k=-4k，
那么當(dāng)n=k+1時，
T_12（k+1）=T_12k+a_12k+1-a_12k+3+a_12k+5-a_12k+7+a_12k+9-a_12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)n∈Z⁺時，T_12n=-4n．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．