Question

設點P是圓x²+（y+1）²=

3

4

上的動點，過點P作拋物線x²=4y的兩條切線，切點為A、B，求

PA

•

PB

的最小值及取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：設出切線的方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，由相切可得△=0，利用根與系數(shù)的關系及數(shù)量積即可得出

PA

•

PB

，再利用點P在圓上及函數(shù)的導數(shù)即可求出最小值．

解答： 解：由題意可知：切線PA、PB的斜率都存在，分別為k₁，k₂，切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設過點P的拋物線的切線l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）．
∵直線l與拋物線相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化為k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此時，x₁=2k₁，y₁=

x12

1 4

=k12；同理，x₂=2k₂，y₂=k22．
∴

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=（2k1-m）（2k2-m）+（k12-n）（k22-n）
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+m2+（k1k2）2-n[（k1+k2）2-2k1k2]+n2
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵點P（m，n）在圓C₁上，
∴m²+（n+1）²=

3

4

，即 m²=

3

4

-（n+1）²，
代入上式可得

PA

•

PB

=n³+7n²+

25

4

n+

1

4

，
考查函數(shù)f（n）═n³+7n²+

25

4

n+

1

4

（-1-

3

2

≤n≤-1+

3

2

），．
求得f′（n）=3n²+14n+

25

4

=

1

4

（2n+1）6n+25），
令f′（n）=0，解得n=-

1

2

，或 n=-

25

6

．
當n∈（-1-

3

2

-

1

2

）時，f′（n）＜0，f（n）為減函數(shù)，
當n∈（-

1

2

，-1+

3

2

）時，f′（n）＞0，f（n）為增函數(shù)，
故當n=-

1

2

 f（n）取得最小值為f（-

1

2

）=-

5

4

，
此時對應的點P（±

2

2

，-

1

2

）．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義與性質(zhì)、直線與圓錐曲線相切問題的解決模式、根與系數(shù)的關系、利用導數(shù)求函數(shù)的最值等是解題的關鍵，屬于中檔題．