Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，角A、B、C成等差數(shù)列，sinA+cosA=

2

，邊a的長為

2

．
（I）求邊b的長；
（II）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）、先根據(jù)題中已知條件利用等差數(shù)列先求出角B的值，結(jié)合三角函數(shù)基本公式求出角A的值，再利用正弦定理便可求出邊b的長度；
（II）、根據(jù)角A、B的值求出sinC的值，再利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：（I）∵角A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C．
∵A+C=π-B，∴3B=π，B=

π

3

．
∵sinA+cosA=

2

，由sin²A+cos²A=1，得sin2A=1．
又∵2A∈（0，2π），∴2A=

π

2

，∴A=

π

4

．
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴

2

sin π 4

=

b

sin π 3

，
∴b=

3

．
（II）sinC=sin(π-(A+B))=sin(A+B)=sin(

π

4

+

π

3

)=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

6 + 2

4

或者sinC=sin(π-A-B)=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

△ABC的面積S△ABC=

1

2

a•b•sinC=

1

2

•

2

•

3

•

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

點評：本題主要涉及等差數(shù)列、三角函數(shù)、正弦定理以及三角形面積的求法等知識點，是各地高考的熱點，綜合性較強，考查了學生對知識的綜合運用和全面掌握，平常應(yīng)多加訓(xùn)練．