Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=

2

，b=1，f（

A

2

+

π

3

）=

1

3

，求sinB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，可求得f（x）=sin（2x-

π

6

），從而可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，由f（

A

2

+

π

3

）=

1

3

，可求得cosA=

1

3

，sinA=

2 2

3

，利用正弦定理即可求得sinB的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）由f（

A

2

+

π

3

）=

1

3

，
得sin[2（

A

2

+

π

3

）-

π

6

]=sin（A+

π

2

）=cosA=

1

3

，
∴在△ABC中，sinA=

2 2

3

，
又因?yàn)閍=

2

，b=1，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

b

a

sinA=

1

2

×

2 2

3

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)的周期性及其求法，著重考查正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．