Question

若2^x+3^x+6^x=7^x，則方程的解集為

{2}

．

Answer 1

分析：由2^x+3^x+6^x=7^x，知(

1

3

)x+(

1

2

)x +1=(

7

6

)x，由y=(

1

2

)x+(

1

3

)x+1是減函數(shù)，y=(

7

6

)x是增函數(shù)，知最多只有一解．當(dāng)x=2時(shí)，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，故x=2．

解答：解：∵2^x+3^x+6^x=7^x，
∴(

1

3

)x+(

1

2

)x +1=(

7

6

)x，
∵y=(

1

2

)x+(

1

3

)x+1是減函數(shù)，
y=(

7

6

)x是增函數(shù)，
∴最多只有一解．
當(dāng)x≥3時(shí)，
∵左≤1+

1

9

+

1

4

=1+

13

36

，
右（1+

1

6

）^x≥1+

1

2

，
∴x≥3無解．
當(dāng)x=1時(shí)，2^x+3^x+6^x=11，7^x=7，不成立；
當(dāng)x=2時(shí)，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，成立．
故x=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．