Question

14．已知公差為1的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S₃=2a₃，令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)a_n=a₁+n-1，利用S₃=2a₃計(jì)算可知首項(xiàng)a₁=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項(xiàng)可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意可知a_n=a₁+n-1，
∵S₃=2a₃，
∴S₂=a₃，即a₁+a₁+1=a₁+2，
∴a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．