Question

1．已知直線L被兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0所截線段AB的中點(diǎn)恰在直線x-4y-1=0上，圓C：（x+4）²+（y-1）²=25．
（1）證明直線L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線L被圓C截得的弦最短時(shí)，求出直線方程和最小弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（a，b），由此列出方程組求出a、b的值；根據(jù)圓C的圓心C與點(diǎn)M的距離與半徑r的大小即可證明直線L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）由直線L被圓C截得的弦最短時(shí)直線L⊥MC，求出L的斜率，寫(xiě)出直線方程，再求出最小弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（a，b），
依題意$\left\{\begin{array}{l}a-4b-1=0\\ \frac{|2a-5b+9|}{{\sqrt{29}}}=\frac{|2a-5b-7|}{{\sqrt{29}}}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a=-3，b=-1；…（3分）
∵圓C：（x+4）²+（y-1）²=25圓心為C（-4，1），半徑r=5；…（4分）
且|MC|=$\sqrt{{[-4-（-3）]}^{2}{+[1-（-1）]}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜r，
∴直線L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；   …（6分）
（2）∵當(dāng)直線L被圓C截得的弦最短時(shí)直線L⊥MC，…（8分）
∴k_L=-$\frac{1}{{k}_{MC}}$=-$\frac{-4-（-3）}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
則直線L為$y+1=\frac{1}{2}（x+3）$，
即x-2y+1=0，…（10分）
最小弦長(zhǎng)為|EF|=$2\sqrt{{r^2}-|MC{|^2}}=4\sqrt{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線垂直以及兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．