Question

曲線f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）通過點P（0，2a²+8），在點Q（-1，f（-1）） 處的切線垂直于y軸，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c與a的解析式，解出c；求出f'（x），因為在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，得到切線的斜率為0，即f′（-1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)得到b與a的關(guān)系式，解出b，最后利用基本不等式求出的最小值即可．
解答：解：由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因為曲線y=f（x）通過點（0，2a²+8），故f（0）=c=2a²+8，
又曲線y=f（x）在（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
則=，
則的最小值為4．
故答案為：4．
點評：本題是一道綜合題，要求學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程．做題時注意符合函數(shù)的求導(dǎo)法則．