Question

   

Answer 1

解: (I) 時(shí),令f′(x)＝e^x－m＝0， 得x＝ln m.當(dāng)0<x<ln m時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>ln m時(shí)，f′(x)>0，

所以x＝ln m是f(x)的極小值點(diǎn)．又f(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln m>1，即m>e.  

(II) 法1: 時(shí),

(i)時(shí), ,與題意矛盾,故;

又,

令,則

(ii)時(shí), ,所以,即有,此時(shí),與題意矛盾,故;

(iii)令,得,所以, 時(shí),時(shí),故在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,

時(shí),同(ii),此時(shí),,與題意矛盾,故;

(iv) 時(shí), ,且,

又記 ,則,則 時(shí),時(shí),易知,故,

所以,若存在使則需,顯然存在,如可取;

故存在使,且時(shí),時(shí),時(shí);所以

-

 得 ,故.

法2:由得且等號成立.

令,則,

因?yàn)?sub>;

所以, 時(shí),時(shí),故在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,

即有,m只可取.

又時(shí), ,以下做法同方法1(iv)

注:方法1中(i)可不出現(xiàn),有(ii)即可.

(III)

(i) 時(shí)由知命題成立;  

(ii) 時(shí),若,則時(shí),命題成立;  

(iii) 且時(shí),由(II)的證明知

  所以

只需,取,則x∈(x₀,＋∞)時(shí),恒有.

綜上,命題成立.