Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$（a，b∈R）在x=1處取得極值為2．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）求函數(shù)在區(qū)間[-3，6]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到方程組，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（3）先求出函數(shù)f（x）在[-3，6]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{-a{x^2}+ab}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{f^'}（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$，解得a=4，b=1，
所以$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，∴f′（x）=$\frac{-{4x}^{2}+4}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間（-1，1），減區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞），
∴f（x）_極小值=f（-1）=$\frac{-4}{1+1}$=-2，f（x）_極大值=f（1）=$\frac{4}{1+1}$=2；
（3）由（2）知，f（x）在（-3，-1），（1，6）上遞減，在（-1，1）上遞增，
∴f（x）的極小值是f（-1），
又 f（6）=$\frac{24}{37}$，f（-1）=-2，
∴f（x）的最小值是-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．