Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為D，過(guò)點(diǎn)A作直線BD的垂線，垂足為F，點(diǎn)E為內(nèi)切圓D與邊AC的切點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若∠C=50°，求∠DEF的度數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明DE⊥AE，根據(jù)AF⊥DF，可得A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，直徑為AD；
（Ⅱ）先證明∠ADB=180°-

∠BAC+∠ABC

2

=90°+

∠C

2

，再利用A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，可求∠DEF的度數(shù)．

解答：（Ⅰ）證明：∵點(diǎn)E為內(nèi)切圓D與邊AC的切點(diǎn)，
∴DE⊥AE，
∵AF⊥DF，
∴A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，直徑為AD；
（Ⅱ）∵銳角△ABC的內(nèi)心為D，∴∠ADB=180°-

∠BAC+∠ABC

2

=90°+

∠C

2

．
∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，
∵∠ADB=90°+∠DAF，
∴∠DAF=25°，
∵A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，
∴∠DEF=∠DAF=25°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，考查角的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．