Question

.(本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面為正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AD,E為棱PC上的一點(diǎn),PD丄平面
(I)求證:E為PC的中點(diǎn)；
(II)若N為CD的中點(diǎn)，M為AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線MN與平面ABE所成的角最大時(shí),求二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）過作交于,由


可知
四點(diǎn)共面，…………………2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171718407418.gif" style="vertical-align:middle;" />
∴,
∵
∴在中，,………………………4分
∴可得E為PC的中點(diǎn)．……………………6分
（Ⅱ）連結(jié)
連結(jié)，則為直線MN與平面ABE所成的角．
在中，
∴最小時(shí)，最大，此時(shí)．
所以M為AB中點(diǎn)，……………………………9分
則．
由，
可知

設(shè)，
.……………12分
法二（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則，.………………2分
設(shè),
，…………………4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171718969432.gif" style="vertical-align:middle;" />  , ，
，
即,.……………………6分
（Ⅱ）設(shè)，,
由（Ⅰ）知面的法向量為，
設(shè)MN與面ABE所成角為,

當(dāng)t=時(shí)，最大，此時(shí)M為AB中點(diǎn),…………………9分
平面NEM的法向量為 設(shè)平面CEM的法向量為
   而
    令
，
.……………………12分

略