Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x＜k}\\{x|x-1|，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在實數k使得函數f（x）的值域為[0，2]，則實數a的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 當-1≤x≤k時，函數f（x）=log₂（1-x）+1為減函數，且在區(qū)間左端點處有f（-1）=2，當k≤x≤a時，f（x）在[k，$\frac{1}{2}$]，[1，a]上單調遞增，在[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞減
從而當x=1時，函數有最小值，即為f（1）=0，函數在右端點的函數值為f（2）=2，結合圖象即可求出a的取值范圍．

解答 解：當-1≤x≤k時，函數f（x）=log₂（1-x）+1為減函數，
且在區(qū)間左端點處有f（-1）=2，
令f（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
令f（x）=x|x-1|=2，解得x=2，
∵f（x）的值域為[0，2]，
∴k≤$\frac{1}{2}$，
當k≤x≤a時，f（x）=x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，1≤x≤a}\\{-{x}^{2}+x，k≤x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[k，$\frac{1}{2}$]，[1，a]上單調遞增，在[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞減，
從而當x=1時，函數有最小值，即為f（1）=0
函數在右端點的函數值為f（2）=2，
∵f（x）的值域為[0，2]，
∴1≤a≤2
故答案為：[1，2]

點評 本題考查分段函數的問題，根據函數的單調性求出函數的值域是關鍵，屬于中檔題