已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3
分析：直線與橢圓方程聯(lián)立用未達(dá)定理的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，則直線AB的方程為y=x-c，代入橢圓方程的
x2
a2
+
y2
b2
=1，
化簡(jiǎn)得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0．
令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
2a2c
a2+b2
，x1x2=
a2c2-a2b2
a2+b2
，
∵
OA
+
OB
=（x1+x2，y1+y2），與
a
=(3，-1)共線，
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c，
∴3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，
∴x1+x2=
3
2
c，
∴
2a2c
a2+b2
=
3
2
c
∴a2=3b2．
∴c=
a2-b2
=
6
3
a，
故離心率e=
c
a
=
6
3
．
點(diǎn)評(píng)：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達(dá)定理．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程．

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