已知函數(shù)，滿足：①對任意，都有；

②對任意n∈N *都有．

（Ⅰ）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）令，試證明： 

 

【答案】

【解析】解：（I） 由①知，對任意，都有，

由于，從而，所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)

（II）令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，而由,即得.

又由（I）知，即.

于是得，又，從而，即.

進而由知，.

于是,  

        ,             ,

,         ,

,       由于,

而且由（I）知，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，因此.

從而.  

（Ⅲ）,

，.

即數(shù)列是以6為首項, 以3為公比的等比數(shù)列 .

    ∴   

于是,顯然,  

另一方面,

從而.     

綜上所述, .  

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若當x∈[0，1）時，f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），且f(
3
2
)=
1
2
．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)g（x）=f2（x）+f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，求滿足不等式f（2x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)p，q都滿足f（p+q）=f（p）f（q），且f（1）=
1
3

（1）當n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設an=nf（n）（ n∈N*），Sn是數(shù)列{an}的前n項和，求證：Sn＜
3
4

（3）設bn=
nf(n+1)
f(n)
（ n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
＜
m-2000
2
對n∈N*恒成立，求最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，當x＞0時，f（x）＞3．
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（2）是否存在實數(shù)a使f （a2-a-5）＜4成立？若存在求出實數(shù)a；若不存在，則說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，滿足條件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）=5．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求不等式f（a2-2a-2）＜3的解集．

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