Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求曲線y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a＜

2

3

，求|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)取x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值及f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，即可得出曲線y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）分類(lèi)討論求|f（x）|的最大值．根據(jù)a的范圍分析區(qū)間端點(diǎn)值與極值絕對(duì)值的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a-3）x-3a+4；
（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）≤0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≥1時(shí)，有f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-

1-a

，x₂=1+

1-a

．
所以，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，2）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅲ）當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）≤0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
當(dāng)0＜a＜

2

3

時(shí)，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-

1-a

，x₂=1+

1-a

．
所以，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，2）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的極大值f（x₁）=1+2（1-a）

1-a

，極小值f（x₂）=1-2（1-a）

1-a

，
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0．
從而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
當(dāng)0＜a＜

2

3

時(shí)，f（x₁）＞f（0）＞|f（2）|．
故|f（x）|_max=f（x₁）=1+2（1-a）

1-a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確的分類(lèi)是解答的關(guān)鍵，此題屬于難題．