Question

已知A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角，向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），且

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大��；
（2）若a，c，b成等差數(shù)列，且

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求邊c的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：先根據(jù)數(shù)量積的定義把給的條件化成三角函數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式、二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到關(guān)于C的方程求解；
把條件“

CA

•（

AB

-

AC

）=18”用三角形的邊角表示出來是第二問的關(guān)鍵，然后利用余弦定理求出c的值．

解答： 解  （Ⅰ）由已知得

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
又∵在△ABC中，A+B+C=π，∴A+B=π-C，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，又∵

m

•

n

=sin2C，
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=

1

2

，又0＜C＜π，
∴C=

π

3

．
（Ⅱ）由a，c，b成等差數(shù)列，2c=a+b，
由

CA

•(

AB

-

AC

)=18，∴

CA

•

CB

=18，即abcosC=18，
由（Ⅰ）知cosC=

1

2

，所以ab=36，
由余弦弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，
∴c=6

點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合，向量是工具，是手段，考查的落腳點(diǎn)是三角函數(shù)的變換公式、圖象與性質(zhì)，三角形中的正余弦定理．