Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

4x+b

（x∈[

1

3

，1]）在[

1

2

，f（

1

2

）]處的切線方程為x+y-1=0，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題已知曲線在某點處的切線方程，可以利用切線方程求出點的縱坐標(biāo)和切線的斜率，得到原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)滿足的關(guān)系式，聯(lián)列方程組，求出題目中參數(shù)的值，得到本題的解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

ax

4x+b

∴f ′(x)=

a(4x+b)-4ax

(4x+b)2

=

ab

(4x+b)2

．
∵切線方程為x+y-1=0，
∴直線斜率為-1，當(dāng)x=

1

2

時，y=

1

2

．
∴f ′(

1

2

)=-1，f(

1

2

)=

1

2

∴

ab

(2+b)2

=-1，

1 2 a

2+b

=

1

2

．
∴a=1，b=-1．
∴f(x)=

x

4x-1

．

點評：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識，關(guān)鍵是利用切線得到點的坐標(biāo)和直線斜率，利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)得到關(guān)于參數(shù)的方程組，從而求出參數(shù)的值．本題屬于常規(guī)題，難點在于分式的求導(dǎo)公式．