Question

2．如圖，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）當(dāng)棱錐A′PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：DE⊥平面A′BC．

Answer 1

分析 （1）令PA=x（0＜x＜2）求出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值．
（2）設(shè)F為A′B的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，通過(guò)PDEF是平行四邊形，證明A′B⊥DE，又DE⊥A′C，即可得證．

解答 解：（1）令PA=x（0＜x＜2），則A′P=PD=x．BP=2-x，
因?yàn)锳′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，
故A′P⊥平面PBCD，
所以V_A′-PBCD=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{6}$（2-x）（2+x）x=$\frac{1}{6}$（4x-x³），
令f（x）=$\frac{1}{6}$（4x-x³），由f′（x）=$\frac{1}{6}$（4-3x²）=0得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值，
即：體積最大時(shí)，PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）設(shè)F為A′B的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，則有EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，PD∥BC，PD=$\frac{1}{2}$BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B，
又因?yàn)辄c(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，PD∥BC，可得D為AD中點(diǎn)，A′D=DC，又E為A′C的中點(diǎn)，可得：A′E=EC，
所以：DE⊥A′C，
由于A′B∩A′C=A′，可得DE⊥平面A′BC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何體的體積計(jì)算，函數(shù)最大值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．