Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意n∈N^*，2

Sn

是a_n+2和a_n的等比中項(xiàng)．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2

Sn

是a_n+2和a_n的等比中項(xiàng)得到數(shù)列遞推式4Sn=an2+2an，在該數(shù)列遞推式中取n=1求得首項(xiàng)，取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得答案．

解答： 證明：（1）∵2

Sn

是a_n+2和a_n的等比中項(xiàng)，
∴4Sn=(an+2)an=an2+2an  ①，
當(dāng)n≥2時，4Sn-1=an-12+2an-1  ②，
①-②得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又在①中取n=1，得4a1=a12+2a1，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}為以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
則a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=2n+

2n(n-1)

2

=n²+n．

點(diǎn)評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，是中檔題．