Question

中心在原點且焦點在y軸上的橢圓G的離心率為

2

2

，且經(jīng)過長軸端點與短軸端點的一條直線與原點的距離為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓G的方程．
（Ⅱ）求橢圓G上的動點M到直線L：2x+

6

y+2

6

=0的距離的最小值．
（Ⅲ）過橢圓G一個焦點的直線交G于P，Q兩點，求△POQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．利用點到直線的距離公式可得由點（0，0）到ax+by-ab=0距離，與已知

c

a

=

2

2

，及a²=b²+c²聯(lián)立即可得出；
（II）設(shè)橢圓：x2+

y2

2

=1上的動點M(cosθ，

2

sinθ)，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（III）由橢圓G方程：x2+

y2

2

=1可得焦點（0，±1），不妨設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+1，聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用點到直線的距離公式和弦長公式、三角形的面積公式、基本不等式即可得出．

解答：解：（I）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
由點（0，0）到ax+by-ab=0為

6

3

得

ab

a2+b2

=

6

3

，又已知

c

a

=

2

2

，
聯(lián)立

c a = 2 2 ab a2+b2 = 6 3 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

，
所求橢圓G方程為：x2+

y2

2

=1．
（II）設(shè)橢圓：x2+

y2

2

=1上的動點M(cosθ，

2

sinθ)到直線L：2x+

6

y+2

6

=0的距離為d，
則d=

|2cosθ+2 3 sinθ+2 6 |

22+( 6 )2

=

|4sin(θ+ π 6 )+2 6 |

10

，
∴dmin=

2 6 -4

10

=

2( 15 - 10 )

5

．
（III）由橢圓G方程：x2+

y2

2

=1可得焦點（0，±1），
不妨設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+1，
代入橢圓的方程可得（2+k²）x²+2kx-1=0．
設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則x1+x2=-

2k

2+k2

，x1x2=-

1

2+k2

．
原點O到直線PQ的距離d=

1

1+k2

．
∴S_△POQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

•

1

1+k2

•

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

1

2

(- 2k 2+k2 )2-4×(- 1 2+k2 )

=

1

2

8 k2+1+ 1 k2+1 +2

≤

2

2

．
由△=4k²+4（2+k²）＞0，由k∈R．當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，S_△POQ由最大值

2

2

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式和弦長公式、三角形的面積公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．