【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)在(1)的條件下,求證:;
(3)當時,求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為.
【解析】分析:(1)求出導數(shù),寫出切線方程;
(2)利用導數(shù)求出的最小值,由最小值>0得結(jié)論;
(3)求出導函數(shù),其零點為,首先比較與的大小,得出的單調(diào)性,然后再比較大小得出最大值.
詳解:(1)當時,,所以,
切線方程為.
(2)由(1)知,則,當時時,;
當時,.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
當時,函數(shù)最小值是,因此.
(3),令,則,當時,設(shè),
因為,所以在上單調(diào)遞增,
且,所以在恒成立,即,
當,當;所以在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增.所以在上的最大值等于,
因為,
設(shè),所以.
由(2)在恒成立,所以在上單調(diào)遞增.
又因為,所以在恒成立,即,
因此當時,在上的最大值為.
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【題目】已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若| ﹣ |= ,求證: ⊥ ;
(2)設(shè) =(0,1),若 + = ,求α,β的值.
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【題目】設(shè)F1 , F2是雙曲線C: (a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則C的離心率為 .
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【題目】已知,函數(shù),.
(1)若在上單調(diào)遞增,求正數(shù)的最大值;
(2)若函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點,求的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,已知點A(5,-2),B(7,3),且邊AC的中點M在y軸上,邊BC的中點N在x軸上,求:
(1)頂點C的坐標;
(2)直線MN的方程.
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【題目】如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個三角形數(shù)為 .記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式:
三角形數(shù) ,
正方形數(shù)N(n,4)=n2 ,
五邊形數(shù) ,
六邊形數(shù)N(n,6)=2n2﹣n,
…
可以推測N(n,k)的表達式,由此計算N(10,24)= .
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
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【題目】已知正項數(shù)列的前項和為,對任意,點都在函數(shù) 的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列的前項和;
(3)已知數(shù)列滿足,若對任意,存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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