Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{a_n^2}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＞$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）通過題意易得$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$，遞推其關(guān)系可得數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，計算即可；
（2）通過（1）可得${b_n}=\frac{1}{n^2}$，利用放縮法、裂項相消法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知：對于n∈N^*，總有$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$ （①）   成立，
∴$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}+{a_{n-{1^{\;}}}}^2$（n≥2）（②）
①-②得$2{a_n}={a_n}+{a_n}^2-{a_{n-1}}-{a_{n-1}}^2$，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
又n=1時，$2{S_1}={a_1}+{a_1}^2$，解得a₁=1，
∴a_n=n．（n∈N^*）；
（2）由（1）可知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$，
∵$\frac{1}{n^2}＞\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}＞（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項公式，考查放縮法、裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．