Question

設數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且當n≥2，n∈N^*時，
（I） 求b₂，b₃，b₄及b_n；
（II）證明：，（注：）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由b₁=1，b_n+1=2b_n+1，分別令n=1和n=2，先求出b₂和b₃，再由b_n+1=2b_n+1，利用構造法求出{b_n}的通項公式．
（II）先證明=（n≥2，n∈N^*），由該結論得）=2（++…++），再由++…++=1++…+，利用放縮法即可證明結論；
解答：（Ⅰ）解：∵b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b₂=2×1+1=3，b₃=2×3+1=7，b₄=2×7+1=15，
∵b_n+1=2b_n+1，∴b_n+1+1=2（b_n+1），
所以{b_n+1}為公比為2的等比數(shù)列，首項為2，
∴b_n+1=（b₁+1）•2^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1．
（II）證明：a₁=1，a_n=b_n（）（n≥2且n∈N^*），
∴=++…+，=++…++，
∴-=，∴=，
∴=（n≥2且n∈N^*）．
所以）
=×…×
=×…×
=×ׅוa_n+1
=וa_n+1=2•
=2（++…++），
而++…++=1++…+，
當k≥2時，=＜=2（），
∴1++…+
=1+2[（-）+（-）+…+（-）
=1+2（-）＜＜．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．