Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值.

（1）求的值；

（2）設(shè)，

證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；

（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)m和nm＜n，使的定義域和值域分別為，如果存在，求出m和n的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由題意得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合題意可求得．（2）由得，構(gòu)造函數(shù)，可證明函數(shù)單調(diào)遞增，故得結(jié)論成立．（3）分析條件可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是可得到，于是得為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，解方程可得．

（1）由題意得，

∴函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

由題得，

解得．

（2）證明：由（1）知，

∴，

令，

∴，

令．

設(shè)，則

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴函數(shù)為上的增函數(shù)，

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)．

（3）由題意知，對(duì)稱(chēng)軸為，

∴．

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，則，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

則為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，

由得，

解得，．經(jīng)檢驗(yàn)得滿足條件．

故存在，使得的定義域和值域分別為．