Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=1，M、N分別是棱A₁B、B₁C₁上的點(diǎn)，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，MN⊥A₁B．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的高a及MN的長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在B₁C₁上移動(dòng)，問P在何位置時(shí)，△PA₁B的面積才能取得最小值．

Answer 1

解：（1）以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，={1，0，-a}，={，，}，．由⊥?•=0得，，．
（2）設(shè)P（t，1-t，1），于是，={t，1-t，0}，={1，0，-1}，設(shè)與所成的角為θ，，，
則當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)與N重合時(shí)，△PA₁B的面積才能取得最小值．
分析：（1）以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積為0，可求高a及MN的長(zhǎng)；
（2）假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，△PA₁B的面積，再求最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為載體，考查利用空間向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是空間直角坐標(biāo)系的建立．