Question

19．已知函數(shù)f（x）=Acos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$），x∈R，且f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$．
（1）求A的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（4α+$\frac{4}{3}$π）=-$\frac{30}{17}$，f（4β-$\frac{2}{3}$π）=$\frac{8}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用條件求得A的值．
（2）由條件根據(jù)f（4α+$\frac{4}{3}$π）=-$\frac{30}{17}$，求得sinα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值；由f（4β-$\frac{2}{3}$π）=$\frac{8}{5}$，求得cosβ的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinβ的值；從而求得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的值．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=Acos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$），x∈R，由f（$\frac{π}{3}$）=Acos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A=$\sqrt{2}$，
可得A=2．
（2）由于α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（4α+$\frac{4}{3}$π）=2cos（$\frac{4α+\frac{4π}{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sinα=-$\frac{30}{17}$，
∴sinα=$\frac{15}{17}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{8}{17}$．
又 f（4β-$\frac{2}{3}$π）=2cos（$\frac{4β-\frac{2π}{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{8}{5}$，∴cosβ=$\frac{4}{5}$，∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{8}{17}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{15}{17}$×$\frac{3}{5}$=$-\frac{13}{85}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．