Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N）
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）設(shè)cn=

3n+6

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N），得S_n=4a_n-1+2（n≥2，n∈N），兩式相減可得遞推式，通過變形可得b_n的遞推式，由遞推式可判斷{b_n}為等比數(shù)列，從而可得b_n；
（2）由（1）可求得c_n，利用錯位相減法可求得T_n．

解答：解：（1）由S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N），得S_n=4a_n-1+2（n≥2，n∈N），
作差有a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），
整理得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），即b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是以b₁=a₂-2a₁為首項2為公比的等比數(shù)列，
由a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N）求得a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，∴bn=3•2n^-1；
（2）由（1）得，cn=

3n+6

bn

=

3n+6

3•2n-1

=

n+2

2n-1

，
則Tn=3+

4

2

+

5

22

+…+

n+2

2n-1

①，

1

2

Tn=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

②，
①-②得，

1

2

Tn=3+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n+2

2n

=3+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+2

2n

=3+1-

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
故Tn=4-

n+4

2n

．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式、由遞推式求數(shù)列的通項，考查數(shù)列求和，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．