Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=2f（x），已知x∈[-1，0]，f（x）=x²+x，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤logm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． m≤1
• B． 0＜m≤1
• C． m≥1
• D． 0＜m≤2

Answer 1

分析 可先根據(jù)已知條件求出函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的解析式，然后根據(jù)f（x）≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}m$構(gòu)造出關(guān)于m的不等式求解即可．

解答 解：因?yàn)閒（x+1）=2f（x），所以f（x）=2f（x-1）=4f（x-2）．
設(shè)x∈[1，2]，則x-2∈[-1，0]．
所以此時(shí)f（x）=4f（x-2）=4（x-2）²+4（x-2）=4[（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]，x∈[1，2]．
易知f（x）_max=f（1）=f（2）=0，
所以要使當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}m$恒成立，
只需$lo{g}_{\frac{1}{2}}m≥f（x）=0$即可．
所以$lo{g}_{\frac{1}{2}}m≥lo{g}_{\frac{1}{2}}1$，因?yàn)閥=log${\;}_{\frac{1}{2}}x$在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
所以0＜m≤1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立問題的解決方法，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解，此例要注意對(duì)條件“f（x+1）=2f（x）”的轉(zhuǎn)化作用的體會(huì)．