已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1-
3
a
．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅰ）由題設(shè)知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-
2
a
)．
令f′(x)=0得x1=0，x2=
2
a
．
當(dāng)（i）a＞0時，
若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間(-∞，
2
a
)上是增函數(shù)；
若x∈(0，
2
a
)，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間(0，
2
a
)上是減函數(shù)；
若x∈(
2
a
，+∞)，則f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間(
2
a
，+∞)上是增函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＜0時，
若x∈(-∞，
2
a
)，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間(-∞，
2
a
)上是減函數(shù)；
若x∈(0，
2
a
)，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間(0，
2
a
)上是減函數(shù)；
若x∈(
2
a
，0)，則f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間(
2
a
，0)上是增函數(shù)；
若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設(shè)知，曲線y=f（x）上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，
且函數(shù)y=f（x）在x=0，x=
2
a
處分別是取得極值f(0)=1-
3
a
，f(
2
a
)=-
4
a2
-
3
a
+1．
因為線段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以f(0)•f(
2
a
)≤0．
即(-
4
a2
-
3
a
+1)(1-
3
a
)≤0．
所以
(a+1)(a-3)(a-4)
a2
≤0．
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0）∪[3，4]．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案