Question

已知橢圓C：( )的離心率為，點(diǎn)(1，)在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4，)，其中，切點(diǎn)分別是A、B，試?yán)�用結(jié)論：在橢圓上的點(diǎn)()處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點(diǎn)；

（3）試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請說明理由.

 

Answer 1

（1） ；（2）參考解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，點(diǎn)(1，)在橢圓C，根據(jù)橢圓方程的等量關(guān)系即可求出的值，即得到橢圓方程.

（2）由橢圓切線方程是，又因?yàn)榍悬c(diǎn)分別為A，B.所以帶入A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到兩條切線方程，又因?yàn)檫@兩條切線過點(diǎn)M，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得經(jīng)過A，B的直線方程，根據(jù)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.

（3）由（2）可得直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，兩點(diǎn)的距離公式表達(dá)出，通過運(yùn)算即可得到結(jié)論.

（1）設(shè)橢圓C的方程為()

①

點(diǎn)(1，)在橢圓C上，②，

由①②得：

橢圓C的方程為， 4分

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，，則切線方程分別為，.

又兩條切線交于點(diǎn)M(4，)，即，

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程，顯然對任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)(1，0)都適合這個方程，

故直線AB恒過橢圓的右焦點(diǎn). 7分

（3）將直線的方程，代入橢圓方程，得

，即

所以， 10分

不妨設(shè)，，

同理

所以==

所以的值恒為常數(shù). 13分

考點(diǎn)：1.橢圓的方程.2.直線與圓的位置關(guān)系.3.構(gòu)造概括的能力.