橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Q（x0，y0）為橢圓上任意一點(diǎn)，求以Q為切點(diǎn)，橢圓的切線方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：（1）先由題意可得，△EFG為邊長(zhǎng)是
2b
3
，高為c=1的等邊三角形．利用三角函數(shù)知識(shí)得出b=
3
，從而求得a值，最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)以Q為切點(diǎn)的切線方程的斜率為k，再分類討論：
①若y0＞0，設(shè)f(x)=
3(1-
x2
4
)
，利用導(dǎo)數(shù)的幾何求得切線的斜率進(jìn)而得出切線方程；
②若y0＜0，設(shè)f(x)=-
3(1-
x2
4
)
，同理可得切線方程為
xx0
4
+
yx0
3
=1；
③若y0=0，則Q（2，0），切線方程為x=2，亦滿足
xx0
4
+
yx0
3
=1，綜上所述，得出切線方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P（4，t），切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），由（2）可知兩切線方程PA，PB的方程，同去利用P點(diǎn)在切線PA，PB上，得到x+
ty
3
-1=0為AB的直線方程，從而問題解決．
解答：解：（1）由題意可得，△EFG為邊長(zhǎng)是
2b
3
，高為c=1的等邊三角形．
tan60°=
OF
1
2
EG
=
1
b
3
=
3
，故b=
3
，而c=1，所以a=
b2+c2
=2
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1（3分）
（2）設(shè)以Q為切點(diǎn)的切線方程的斜率為k，
①若y0＞0，設(shè)f(x)=
3(1-
x2
4
)
，
則f′(x)=
-x
4
3(1-
x2
4
)
，k=f′(x0)=
-x0
4
3(1-
x02
4
)

由于Q（x0，y0）在橢圓上，故
x02
4
+
y02
3
=1，
即y0=
3(1-
x02
4
)
∴k=
-3x0
4y0

此時(shí)切線方程為y-y0=
-3x0
4y0
(x-x0)，整理得：
xx0
4
+
yx0
3
=
y
2
0
3
+
x
2
0
4

將
x02
4
+
y02
3
=1代入，得
xx0
4
+
yx0
3
=1（6分）
②若y0＜0，設(shè)f(x)=-
3(1-
x2
4
)
，
則f′(x)=
x
4
3(1-
x2
4
)
，k=f′(x0)=
x0
4
3(1-
x02
4
)

由于Q（x0，y0）在橢圓上，故
x02
4
+
y02
3
=1，
即y0=-
3(1-
x02
4
)
∴k=
-3x0
4y0

于是與①同理可得切線方程為
xx0
4
+
yx0
3
=1（8分）
③若y0=0，則Q（2，0），切線方程為x=2，亦滿足
xx0
4
+
yx0
3
=1
綜上所述，切線方程為
xx0
4
+
yx0
3
=1（9分）
（3）設(shè)點(diǎn)P（4，t），切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），
由（2）可知兩切線方程PA，PB分別為
xx1
4
+
yy1
3
=1，
xx2
4
+
yy2
3
=1（11分）
P點(diǎn)在切線PA，PB上，故P（4，t）滿足
xx1
4
+
yy1
3
=1，
xx2
4
+
yy2
3
=1
得：x1+
ty1
3
=1，x2+
ty2
3
=1
故A（x1，y1），B（x2，y2）均滿足方程x+
ty
3
=1，
即x+
ty
3
-1=0為AB的直線方程．（13分）x+
ty
3
-1=0中，
令y=0，則x=1，故AB過定點(diǎn)（1，0），題得證．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．解題時(shí)要注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請(qǐng)加以證明；若不能平分，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案