Question

（本題滿分12分）

設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，且當(dāng)時，．

（I）求函數(shù)的解析式；

（II）若對于區(qū)間上任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2），實數(shù)的取值范圍為．

【解析】本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶函數(shù)圖象的對稱性，是對函數(shù)知識的綜合考查，屬于中檔題．

（1）先利用函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱得：f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關(guān)于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上；然后再利用x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定義域內(nèi)有0，可得f（0）=0；最后利用其為奇函數(shù)可求x∈（0，1]時對應(yīng)的解析式，綜合即可求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）先求出f（x）在（0，1]上的導(dǎo)函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出其在（0，1]上的單調(diào)性，進而求出其最大值，只須讓起最大值與1相比即可求出實數(shù)a的取值范圍

解：（1） ∵的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，

∴ 的圖象上任意一點關(guān)于軸對稱的對稱點在的圖象上．

當(dāng)時，，則．    2分

∵為上的奇函數(shù)，則．                  3分

當(dāng)時，，．    5分

∴                          6分

（2）由已知，．

①若在恒成立，則．

此時，，在上單調(diào)遞減，，

∴ 的值域為與矛盾．                             8分

②當(dāng)時，令，

∴ 當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ，單調(diào)遞增，

∴ ．              10分

由，得．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．                               12分