Question

設函數(shù)f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2a²x．
（1）當a=1時，求f（x）在[-3，3]上的最值；
（2）若函數(shù)f（x）在(

2

3

，+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f′（x）=-x²+x+2，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在[-3，3]上的最值．
（2）由已知條件得f′（x）=-（x-2a）（x+a），由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，由此結合已知條件能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f′（x）=-x²+x+2，
由f′（x）=0，得x=-1，或x=2，
x∈（-∞，-1）時，f′（x）＜0；x∈（-1，2）時，f′（x）＞0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0．
∴f（x）_極小值=f（-1）=

1

3

+

1

2

-2=-

7

6

；
f（x）_極大值=f（2）=-

8

3

+2+4=

10

3

．
又f（-3）=-

3

2

，f（3）=

3

2

．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為

10

3

，最小值為-

3

2

．
（2）∵f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2a²x（a∈R），
∴f′（x）=-x²+ax+2a²
=-（x-2a）（x+a），
由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，
①當a=0時，有x²≤0，得x=0，不合題意；
②當a＞0時，有-a＜x＜2a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在遞增區(qū)間，
∴2a＞

2

3

，即a＞

1

3

；
③當a＜0時，有2a＜x＜-a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在遞增區(qū)間，
∴-a＞

2

3

，即a＜-

2

3

．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-

2

3

）∪（

1

3

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．