Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）
（1）令函數(shù)f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的圖象為曲線c₁，曲線c₁與y軸交于點(diǎn)A（0，m），過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線c₁的切線，切點(diǎn)為B（n，t）（n＞0）設(shè)曲線c₁在點(diǎn)A、B之間的曲線段與OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
（2）當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

（1）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））=2^log₂（x²-4x+9）=x²-4x+9
故A（0，9）
f'（x）=2x-4，過(guò)O作C₁的切線，切點(diǎn)為B（n，t）（n＞0），
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

解得B（3，6）
∴S=

∫

30

(x2-4x+9-2x)dx=(

1

3

x3-3x2+9x)

|

30

=9
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

(x≥1)?h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

令P(x)=

x

1+x

-ln(1+x)(x＞0)∴P′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0
∴P（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，有P（x）＜P（0），
∴當(dāng)x≥1時(shí)有h'（x）＜0∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴1≤x＜y時(shí)，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）