Question

給出下列命題：
（1）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+n+1，則{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=qa_n（q≠0）q為常數(shù)，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=rqⁿ-r（r，q為是非零常數(shù)，q≠1），則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（4）{a_n}是等差數(shù)列，且公差d＞0，則{a_n}是遞增數(shù)列．
其中正確的命題有（　　）個．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求得數(shù)列的通項公式，知道此數(shù)列不是等差數(shù)列．
（2）特殊值法，令a_n=0證明結(jié)論不正確．
（3）利用a_n=S_n-S_n-1求得a_n，最后看n=1時符合，得出數(shù)列的通項公式進而可知其為等比數(shù)列．
（4）利用a_n+1＞a_n推斷出數(shù)列為遞增數(shù)列．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-2，
當(dāng)n=1時a₁=S₁=3，
故a_n=

3，n=1 2n-2，n≥2

，故{a_n}不是等差數(shù)列．
（2）若a_n=0時，等式成立，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列
（3）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（r-

r

q

）•qⁿ，n=1時，等式也成立，
∴a_n=（r-

r

q

）•qⁿ，故數(shù)列時以rq-r為首項，q為公比的等比數(shù)列．
（4））{a_n}是等差數(shù)列，且公差d，
∴a_n+1-a_n=d＞0，
∴a_n+1＞a_n，即數(shù)列為遞增數(shù)列．
綜合知正確的結(jié)論是（3），（4），兩個，
故選：C．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)．在利用a_n=S_n-S_n-1求得通項公式的時候一定要對n=1進行驗證．