Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；

（Ⅱ）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解由于函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，       1分

當a＝－1時，f′(x)＝x－         2分

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，      3分

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，  因此函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調(diào)遞減的，      4分

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)遞增的，   5分

則x＝1是f(x)極小值點，

所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)=             6分

（Ⅱ）證明      設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－x³，

則F′(x)＝x＋－2x²＝，      8分

當x>1時，F(xiàn)′(x)<0，                          9分

故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)遞減的，            10分

又F(1)＝－<0，         11分

∴在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立

即f(x)<g(x)恒成立.

因此，

當a＝1時，在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像的下方． 12分