Question

如圖，在直二面角E-AB-C中，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，AB=AF=4，AD=2，點(diǎn)P、Q、G分別是AC、BC、AF的中點(diǎn)；
（Ⅰ）求FB與PG所成角的正切值：
（Ⅱ）求二面角G-PQ-A，的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題

分析：（I）取AB的中點(diǎn)為M，又G為AF的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得GM∥BF，則∠PGM是FB與PG所成角，由已知中直二面角E-AB-C中，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，AB=AF=4，AD=2，解△PMG即可得到FB與PG所成角的正切值：
（Ⅱ）延長(zhǎng)QP交AD于K，由面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合二面角E-AB-C為直二面角，易得QK⊥GK而AK⊥QK，即∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角，解Rt△AKG，即可得到二面角G-PQ-A，的平面角的正切值．

解答： 解：（I）取AB的中點(diǎn)為M，又G為AF的中點(diǎn)，則GM∥BF
所以∠PGM是FB與PG所成角（3分）
由PM∥AD，AD⊥AB知PM⊥AB
又二面角E-AB-C是直二面角
即中平面ABCD⊥平面ABEF，交線是AB，
所以PM⊥平面ABEF，
所以PM⊥MG于是△PMG是直角三角形，
PM=

1

2

AD=1
GM=

AG2+AM2

=2

2

，
∴tan∠PGM=

PM

MG

=

2

4

（7分）
（Ⅱ）延長(zhǎng)QP交AD于K，由平面ABCD⊥平面ABEF，AG⊥AB知AG⊥平面ABCD，
又QK⊥AD
∴QK⊥GK而AK⊥QK，
所以∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角．（10分）
則Rt△AKG中，AK=1，AG=2
∴tan∠GKA=2．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，其中（I）的關(guān)鍵是證得∠PGM是FB與PG所成角，而（II）的關(guān)鍵是證得∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角．