如圖(1),邊長(zhǎng)為2的正方形ABEF中,D,C分別為EF,AF上的點(diǎn),且ED=CF,現(xiàn)沿DC把△CDF剪切、拼接成如圖(2)的圖形,再將△BEC,△CDF,△ABD沿BC,CD,BD折起,使E,F(xiàn),A三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′.
(1)求證:BA′⊥CD;
(2)求四面體B-A′CD體積的最大值.
分析:(1)通過(guò)折疊前與折疊后直線與直線的垂直,證明BA′⊥平面A′CD,然后證明BA′⊥CD.
(2)設(shè)A′C=x(0<x<2),得到A′D=2-x.求出S△A′CD=
1
2
x(2-x).然后推出VB-A′CD的表達(dá)式,利用二次函數(shù)求出體積最大值.
解答:(1)證明:折疊前,BE⊥EC,BA⊥AD,折疊后BA′⊥A′C,BA′⊥A′D,
又A′C∩A′D=A′,
所以BA′⊥平面A′CD,
因?yàn)镃D?平面A′CD,
因此BA′⊥CD.(4分)
(2)解:設(shè)A′C=x(0<x<2),則A′D=2-x.因此S△A′CD=
1
2
x(2-x).(8分)
∴VB-A′CD=
1
3
BA′•
S△A′CD=
1
3
×2×
1
2
x(2-x)
=
1
3
[-(x-1)2+1]

所以當(dāng)x=1時(shí),四面體B-A′CD體積的最大值為
1
3
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,幾何體的體積的求法,考查邏輯推理能力與計(jì)算能力.
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