如圖在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段AB1和BD上的點,且AM=BN=t(0<t<
2

(1)求|MN|的最小值
(2)當(dāng)|MN|達到最小值時,
MN
AB
1
BD
是否都垂直,如果都垂直給出證明;如果不是都垂直說明理由.
考點:點、線、面間的距離計算
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)作ME⊥AB于E,連EN.在△EBN中,由余弦定理可得EN,在△MEN中,由勾股定理可得MN,從而可求|MN|的最小值
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出
MN
=(
1
3
,
2
3
,-
1
3
),
AB1
=(1,0,1),
BD
=(-1,1,0),利用向量的數(shù)量積公式,即可得出結(jié)論.
解答: 解:(1)作ME⊥AB于E,連EN.
∵AM=BN=t,
ME=AE=
2
2
t,BE=1-
2
2
t

∴在△EBN中,由余弦定理可得:EN2=t2+(1-
2
2
t)2-2t(1-
2
2
t)•
2
2
=
5
2
t2-2
2
t+1

∴在△MEN中,由勾股定理可得MN2=3t2-2
2
t+1

∴當(dāng)t=
2
3
時,|
MN
|
最小值為
1
3
;
(2)建立如圖所示的坐標(biāo)系,由(1)知當(dāng)|MN|達到最小值時,t=
2
3
,則
A(0,0,0),B1(1,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),M(
1
3
,0,
1
3
),N(
2
3
2
3
,0
),
MN
=(
1
3
2
3
,-
1
3
),
AB1
=(1,0,1),
BD
=(-1,1,0),
MN
AB1
=0,
MN
BD
=
1
3

MN
AB1
,
MN
BD
不垂直.
點評:本題考查空間距離的計算,考查向量知識的運用,正確表示向量是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

關(guān)于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),則x1+x2+
a
x1x2
的最小值是( 。
A、
6
3
B、
2
3
3
C、
4
3
3
D、
2
3
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BCD,AB⊥BD,AD⊥CD,E,F(xiàn)分別為AC,BC的中點,且△BEC為正三角形.
(1)求證:CD⊥平面ABD;
(2)若CD=3,AC=10,求點C到平面DEF的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+Φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<Φ<
π
2
)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為
π
2
,且圖象上一個最低點為M(
3
,-2).
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
12
]時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(a2+8)ex,函數(shù)g(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x
(1)若a=0,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若a>0,且存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|min<3,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求證:PC⊥AB;
(2)求點C到平面APB的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四邊形ABCD是菱形,其對角線AC=4,BD=2,直線AE,CF都與平面ABCD垂直,AE=1,CF=4.
(1)求證:平面EBD⊥平面FBD;
(2)求直線AB與平面EAD所成角的正弦值;
(3)求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)全集U=R,集合A={x|x=
α
2
,α為第二象限角},集合B={x|x=π-α,α為第四象限角}.
(1)分別用區(qū)間表示集合A與集合B;  
(2)分別求A∪B和(∁UA)∩B.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,平面四邊形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠BCD=135°,沿對角線AC將△ABC折起,使平面ABC與平面ACD互相垂直.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)在BD上是否存在一點P,使CP⊥平面ABD,證明你的結(jié)論;
(3)求點C到平面ABD的距離.

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同步練習(xí)冊答案