Question

若橢圓C：上有一動點P，P到橢圓C的兩焦點 F₁，F(xiàn)₂的距離之和等于2，△PF₁F₂的面積最大值為1

（I）求橢圓的方程

（II）若過點M（2，0）的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B，（O為坐標(biāo)原點）且| ，求實數(shù)t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）；

（II）t的取值范圍是（－2，）∪（，2）

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。

（1）因為橢圓C：上有一動點P，P到橢圓C的兩焦點 F₁，F(xiàn)₂的距離之和等于2，△PF₁F_2s的面積最大值為1，利用定義和三角形的面積公式得到a,b,c的值得到橢圓方程。

（2）設(shè)出直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程組，得到關(guān)于變元的二次函數(shù)，然后借助于韋達定理和向量的關(guān)系式得到參數(shù)t與k的關(guān)系，然后借助于函數(shù)的性質(zhì)得到范圍。

解：（I）由已知得，∴，

又∵，∴，

所以橢圓的方程為：

（II）l的斜率必須存在，即設(shè)l：

聯(lián)立，消去y得

即

由得

設(shè)，，由韋達定理得，

而＋＝，設(shè)P（x，y）

∴

∴

而P在橢圓C上，∴

∴（*），又∵

解之，得，∴

再將（*）式化為，將代入

得，即或

則t的取值范圍是（－2，）∪（，2）