已知函數(shù) f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若數(shù)學(xué)公式對(duì)任意x∈[-2，-1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（Ⅰ）解：當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x2ex，f（1）=-e．f'（x）=-x2ex-2xex，…（2分）
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（1，-e），則k=f'（1）=-3e，…（4分）
所以在點(diǎn)（1，-e）處的曲線的切線方程為：y=-3ex+2e． …（5分）
（Ⅱ）解：由題意得，，即． …（9分）
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）f'（x）=ex（ax2+2ax+a+1）=ex[a（x+1）2+1]，…（10分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/94993.png' />，所以f'（x）＞0恒成立，
故f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，…（12分）
要使恒成立，則，解得．…（15分）
分析：（Ⅰ）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決；
（Ⅱ）代入特殊值縮小a的范圍，然后根據(jù)a的范圍確定函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到f（x）在[-2，-1]上的單調(diào)性，最后根據(jù)恒成立只需恒成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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