Question

如圖，ABCD 是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)M是線段BD上的一個動點，問當(dāng)

BM

BD

的值為多少時，可使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）說明DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點，DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．
求出A，F(xiàn)，E，B，C的坐標(biāo)，設(shè)平面BEF的法向量為

m

=（x，y，z），利用

m • BF =0 m • EF =0

，求出

m

，說明

CA

為平面BDE的法向量，通過cos＜

m

，

CA

＞  =

m • CA

| m ||  CA |

，求出二面角F-BE-D的余弦值．
（Ⅱ）設(shè)M（t，t，0）．通過AM∥平面BEF，通過

AM

•

m

=0，求出點M坐標(biāo)為（2，2，0），即可得到

BM

BD

的值．

解答：解：（Ⅰ） 因為DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因為ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點，DA，DC，DE分
別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．
因為BE與平面ABCD所成角為60°，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=tan60°=

3

．
由AD=2可知DE=3

6

，AF=

6

．
則A（3，0，0），F(xiàn)（3，0.

6

），E（0，0，3

6

），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=(0，-3，

6

)，

EF

=(3，0，-2

6

)，（8分）
設(shè)平面BEF的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • BF =0 m • EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，則

m

=（4，2，

6

）．
因為AC⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0），
所以cos＜

m

，

CA

＞  =

m • CA

| m ||  CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
因為二面角為銳角，所以二面角F-BE-D的余弦值為

13

13

．（8分）
（Ⅱ）解：點M是線段BD上一個動點，設(shè)M（t，t，0）．則

AM

=(t-3，t，0)，
因為AM∥平面BEF，所以

AM

•

n

=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此時，點M坐標(biāo)為（2，2，0），

BM

BD

=

1

3

符合題意．（12分）

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，空間向量與空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，考查計算能力．