【題目】如圖,在正三棱柱中,AB=2,由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)C1的最短路線與棱的交點(diǎn)記為M,求:
(Ⅰ)三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng).
(Ⅱ)該最短路線的長(zhǎng)及的值.
(Ⅲ)平面與平面ABC所成二面角(銳二面角)
【答案】⑴;⑵,;⑶45°
【解析】
(Ⅰ)利用側(cè)面展開(kāi)法即可求出對(duì)角線長(zhǎng);
(Ⅱ)利用側(cè)面展開(kāi)法進(jìn)行求解即可,求出DC1和的值即可;
(Ⅲ)連接DB,C1B,可證∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角,在三角形C1BC中求出此角的大。
(Ⅰ)正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為6, 寬為2的矩形,
其對(duì)角線長(zhǎng)為
(Ⅱ)如圖,將側(cè)面繞棱AA1, , 旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面在同一平面上,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置,連接DC1交AA1于M,則DC1就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱AA1到頂點(diǎn)C1的最短路線,其長(zhǎng)為
,
故;
(Ⅲ)連接DB,C1B,則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線,
在△DCB中,
,
,又平面
由三垂線定理得,
就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角(銳角),
∵側(cè)面是正方形,,
故平面C1MB與平面ABC所成的二面角(銳角)為45°
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【題目】設(shè)圓的圓心在軸上,并且過(guò)兩點(diǎn).
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn),那么以為直徑的圓能否經(jīng)過(guò)原點(diǎn),若能,請(qǐng)求出直線的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正四面體D﹣ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐),P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點(diǎn),AP=PB, = =2,分別記二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角為α、β、γ,則( )
A.γ<α<β
B.α<γ<β
C.α<β<γ
D.β<γ<α
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當(dāng)n∈N*時(shí),
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)AD⊥AC.
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