Question

20．曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)），M是曲線C₁上的動點，且M是線段OP的中點，P點的軌跡為曲線C₂，直線l的極坐標方程為$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，直線l與曲線C₂交于A，B兩點．
（1）求曲線C₂的普通方程；
（2）求線段 AB的長．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），則由條件知$M（{\frac{x}{2}，\frac{y}{2}}）$，由M點在曲線C₁上，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2cosα\\ \frac{y}{2}=2+2sinα\end{array}\right.$，利用平方關系化為普通方程即為曲線C₂的普通方程．
（2）直線l的方程為$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離公式，利用弦長公式可得：|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-2mgede1^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）設P（x，y），則由條件知$M（{\frac{x}{2}，\frac{y}{2}}）$，
∵M點在曲線C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2cosα\\ \frac{y}{2}=2+2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=4cosα\\ y=4+4sinα\end{array}\right.$，
化為普通方程為x²+（y-4）²=16，即為曲線C₂的普通方程．
（2）直線l的方程為$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，化為直角坐標方程為x+y-2=0．
由（1）知曲線C₂是圓心為（0，4），半徑為4的圓，
∵圓C₂的圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{4-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{14}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程的應用、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式、坐標變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．