Question

6．已知圓C：x²+y²-2x-7=0．
（1）過點P（3，4）且被圓C截得的弦長為4的弦所在的直線方程
（2）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB的中點D到原點O的距離恰好等于圓C的半徑，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心的坐標及半徑，由直線被圓截得的弦長，利用垂徑定理得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出弦心距，分兩種情況考慮：若此弦所在直線方程的斜率不存在；若斜率存在，設出斜率為k，由直線過P點，由P的坐標及設出的k表示出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而得到所求直線的方程．
（2）求出CD的方程，可得D的坐標，利用D到原點O的距離恰好等于圓C的半徑，求出b，再利用b的范圍，即可求出直線l的方程．

解答 解：（1）由x²+y²-2x-7=0得：（x-1）²+y²=8…（2分）
當斜率存在時，設直線方程為y-4=k（x-3），即kx-y-3k+4=0
∴弦心距$d=\frac{|k-3k+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{|4-2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{8-4}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$
∴直線方程為y-4=$\frac{3}{4}$（x-3），即3x-4y+7=0…（5分）
當斜率不存在時，直線方程為x=3，符合題意．
綜上得：所求的直線方程為3x-4y+7=0或x=3…（7分）
（2）設直線l方程為y=x+b，即x-y+b=0
∵在圓C中，D為弦AB的中點，∴CD⊥AB，∴k_CD=-1，∴CD：y=-x+1
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，得D的坐標為$（\frac{1-b}{2}，\frac{1+b}{2}）$…（10分）
∵D到原點O的距離恰好等于圓C的半徑，
∴$\sqrt{（\frac{1-b}{2}）^{2}+（\frac{1+b}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得$b=±\sqrt{15}$…（14分）
∵直線l與圓C相交于A、B，∴C到直線l的距離$d=\frac{|1-b|}{{\sqrt{2}}}＜2\sqrt{2}$，∴-5＜b＜3…（16分）
∴b=-$\sqrt{15}$，則直線l的方程為x-y-$\sqrt{15}$=0…（17分）

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，以及直線的斜截式方程，利用了分類討論的思想，當直線與圓相交時，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題，注意合理地進行等價轉化．