Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且兩條漸近線與以點A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩條漸近線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，可得雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．利用雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，可得a²=1，從而可求雙曲線C的方程．
（2）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而根據(jù)直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根求得m的范圍，表示出AB中點的坐標(biāo)，進而表示出直線l的方程，令x=0求得b關(guān)于k的表達式，根據(jù)m的范圍求得b的范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．故設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為：x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0且 -2 1-m2 ＞0

，解得1＜m＜

2

．又AB中點為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直線l的方程為：y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點評：本題以直線與圓的位置關(guān)系為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系解題的關(guān)鍵是將直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，從而確定m的范圍．用m表示b的過程即是建立目標(biāo)函數(shù)的過程，本題要注意k的取值范圍．