如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在AB上．
（1）若D是AB中點，求證：AC1∥平面B1CD；
（2）當
BD
AB
=
1
5
時，求二面角B-CD-B1的余弦值．
分析：（1）通過作平行線，由線線平行證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
解答：解：（1）證明：連接BC1，交B1C于E，連接DE．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，D是AB中點
∴側面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線
∴DE∥AC1，
又∵DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD
∴AC1∥平面B1CD．
（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2
∴AC⊥BC，所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．則B （3，0，0），A （0，4，0），
A1 （0，0，4），B1 （3，0，4）．
設D （a，b，0）（a＞0，b＞0），
∵點D在線段AB上，且
BD
AB
=
1
5
，即
BD
=
1
5
BA

∴a=
12
5
，b=
4
5
 （7分）
∴
B1C
=（-3，0，-4），
CD
=（
12
5
，
4
5
，0）
顯然
CC1
=（0，0，4）是平面BCD的一個法向量
設平面B1CD的法向量為
n
=（x，y，z），那么
由
B1C
•
n
=0，
CD
•
n
=0，得
-3x-4z=0
12
5
x+
4
5
y=0
，
令x=1，得
n
=（1，-3，-
3
4
）（10分）
∴cos＜
CC1
，
n
＞=
CC1
•
n
|
CC1
||
n
|
=
-3
4×
13
4
=-
3
13
（12分）
又二面角B-CD-B1是銳角，故其余項值為
3
13
．
點評：本題考查線面平行的判定及二面角的求法．求二面角的方法：法一、作二面角的平面角--證明符合定義--解三角形求解；
法二、向量法，求得兩平面的法向量，根據(jù)cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，AC=BC=2，AA1=4．
（1）求證：CF⊥平面ABB1；
（2）當E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°，若存在，求CE
的長，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，E、F分別是棱CC1、AB中點．
（1）判斷直線CF和平面AEB1的位置關系，并加以證明；
（2）求四棱錐A-ECBB1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B1C1E的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•莒縣模擬）如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CCl、AB中點．
（I）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）證明：直線CF∥平面AEBl．

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