Question

如圖棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求證：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）設AB=a，∠BAC=30°，四邊形AA₁C₁C的面積為3a2，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積、

Answer 1

分析：（I）由已知中棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，我們根據菱形的性質及面面垂直的性質定理，易得BD⊥平面AA₁C₁C，再由線面垂直的性質，即可得到BD⊥AA₁；
（Ⅱ）由已知中AB=a，∠BAC=30°，四邊形AA₁C₁C的面積為3a²，我們可計算出棱柱底面ABCD的面積及高AA₁的長度，然后代入棱柱體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又由AA₁?平面AA₁C₁C
∴BD⊥AA₁；
（Ⅱ）∵AB=a，∠BAC=30°，
則AC=

3

a，BD=a
∴S_ABCD=2×

1

2

AB•AD•sin∠A=

3

2

a2
又四邊形AA₁C₁C的面積為3a²，
∴AA₁=

3

a，
∴V=AA₁•S_ABCD=

3

2

a2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，棱柱的體積，熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間垂直關系的相互轉化是解答本題的關鍵．